“待我长发及腰”，女生说这话什么意思？
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引言
一头飘逸的长发，绝对是女生提升气质、颜值、魅力的一大优势。在异性眼中，长发飘飘的女生给人第一感觉就是很优雅，有种初中生情窦初开的感觉，宜嗔宜喜，看着那如瀑布般的直长发，如小溪般蜿蜒的卷发，举手投足，尽是美。大模头我经常听到有女生对男朋友说：“待我长发及腰，勒死你可好娶我可好？”。我一直很好奇，一般女生在对男朋友说这话时，是想再过多久要男朋友狗命嫁给男朋友？
此外，为了抗击当下的武汉疫情，很多女性医护人员剪去了她们心爱的长发。疫情过后，爱美的女医生需要多久才能重新蓄回长发？显然这都取决于头发生长的速度。
头发生长的速度不仅关系到女性，与疫情中的广大男性也息息相关。从农历新年开始到现在，为了响应国家号招，大家都一直呆在家中为国家作出了巨大贡献。在疫情的持续影响下，广大男性也蓄起了秀发（没有地方理发）。疫情过后，长期未理发的广大男生会不会都变成 F4 或陈浩南？显然这也取决于头发生长的速度。
为了回答以上问题，本文大模头就来研究一下头发生长的规律。
简单估算
我们先不考虑脱发情况。头发的平均生长速度约为 0.35 mm/天 [1]。假设某女生对你说“待我长发及腰，取你狗命！”时头发长度为 10 cm，要想长发及腰，头发大约需要 50 cm 长，则你还能活着的时间为
因此，该女的意思是 3 年之后取你狗命。同理，如果某女对你说“待我长发及腰，娶我可好？”时头发长度已经达到 50 cm，意思是让你立刻准备 100 万彩礼，否则立刻取你狗命。
用同样的方式，我们可以计算出头发 5 cm 的男生想要蓄发至 25 cm（这大约就是 F4 或陈浩南的头发长度）大约需要 1.5 年。当年 SARS 疫情也就持续了差不多五六个月，因此你想在新冠疫情内蓄发至 F4 的长度几乎是不可能的。假设本次疫情持续 2 个月，那么你在此疫情期间头发增加的长度也只有 2.1 cm，这个长度大约能绕地球 圈。
模型 [2]
接下来我们建立一个考虑头发脱落的模型。假设某人头上有 根头发，不同的头发可具有不同的的长度 。在不连续的时间间隔 内，头发要么以恒定的速率 生长，要么脱落（即长度重置为 0）。在给定的时间间隔内，每根头发都有相同的生长概率 。因此我们可以将一根头发的长度描述为
其中 是根据概率 随机返回 0 或 1 的函数。它以概率 返回 1，以概率 返回 0：
我们用 MATLAB 以上两式进行模拟，计算了不同情况下每根头发的长度 ，并计算了所有头发的平均长度 。模拟结果分别见图 5 和 6，所有头发的初始长度设置为 0。图 5 显示的是头发根数分别为 、 和 的模拟结果，参数 和 。结果表明，不同头发根数情况下，头发的平均长度都具有相同的变化趋势，并最终达到相同的平衡长度（约为 9）。当头发根数较少时，曲线会因样本量有限而引起随机波动，头发根数较多时，曲线比较光滑。图 6 显示的是头发不脱落概率分别为 、 和 的模拟结果，参数 ，。结果显示头发不脱落的概率越大，头发最终能达到的平衡长度越长。当系统达到平衡状态时，头发的平均长度因生长而增长的速率与因脱落而降低的速率相同。模拟所用程序见附录中的代码 1。
平衡时头发的平均长度
接下来我们考虑系统平衡时头发的平均长度 ，即图 5 和图 6 中曲线平稳时达到的长度。头发的平均长度可由每种长度及每种长度出现的概率乘积相加得到：
为了根据上式计算出平衡时头发的平均长度 ，我们需要找出每种长度出现的概率。对于一根头发，很容易计算出在给定时间内不脱落的概率。根据前面对 的定义可知，该概率在 时为 ，在 时为 ，在 时为 ，依此类推。但是这些概率值的总和大于 1，所以这显然并不是头发在特定长度下的真实概率。这些概率值是相对概率，与我们所要找出的绝对概率成比例。因此有
其中头发的初始长度 。我们知道以下级数和：
综合以上三式可得
平均长度与时间关系
由于头发的平均长度-时间曲线最终趋于平稳状态，因此随着头发长度 接近平衡长度 时，其变化率必须减小。当 时，。因此，头发平均长度关于时间的微分方程可以写成：
其中 是一个需要确定的常数。现求解上式微分方程，分离变量并对两边进行积分：
即
从而有
解得
由于我们假设每根头发的初始长度为 0，即 ，因此有：
将上式代入式 的表达式有
此外，我们还可以很容易的得到 的值。初始时刻所有头发的长度为 0。在第一个时间间隔内，头发长度以 的概率变为 ，因此 。据此我们可以确定出常数 的值：
即
将上式代入 的有
将上一小节中解出的 代入上式中可得
上式给出了任意时刻头发平均长度的解析表达。显然有 ，这与我们所期望的一致。为了验证该解析表达式的正确性，我们将该表达式的结果与模拟结果（）进行比较，如图 7 所示。
图 7 表明，模拟结果与解析结果非常吻合。增大 值会增大头发的最终平衡长度，但不会改变达到平衡的速率。 的值越小，头发的平衡长度就越短，但达到平衡的速率越快。计算所用程序见附录中的代码 1。
何时达到平衡
我们已经给出了任意时刻头发平均长度的解析表达式以及最终的平衡长度。理论上只有当时间到达无穷大时头发的平均长度 才能达到平衡长度。不过，实际上当系统接近平衡状态时与处于平衡状态的系统之间没有明显区别。虽然我们不能给出达到平衡长度的具体时间，但我们可以考查平均长度达到指定长度 所需的时间 ：
即
最终我们得到：
其中 是比例系数。上式反映了系统达到平衡的速度。随着 的增加， 的绝对值减小，系统将需要更长的时间达到平衡。这也很好理解：头发脱落少的人，其头发具有更长的平衡长度，也需要更长的时间才能达到平衡。
头发长度分布
通常我们说的头发长度并不是指头发的平均长度。视觉上头发的长度通常是指最长的头发长度。普通人通过定期理发使头发保持较短。对于头发视觉上（看起来）的长度，长度的分布可能更有用。基于先前的分析，随着长度的增加，每种长度头发的数量以指数方式衰减。我们记 来表示脱发的概率。接下来我们将推导出系统达到平衡时（即 ），每种长度状态下头发的数量。
状态 的头发长度为 0。在给定的时间间隔内，所有头发都以概率 脱落到 的状态。需要说明的是，这一点同样适用于状态为 的头发本身。即在给定时间间隔内，处于 状态的头发将以概率 保持该状态。因此，状态为 的头发总数为 ，其中 为头发总数。 状态 的头发长度为 1。在 时， 根头发以比例 转移到 状态。我们无需考虑原先状态为 的头发数量，因为所有状态为 的头发都将生长成 或脱落成 的状态。因此，在 状态下的头发数量为 。 可以应用以上推导过程导出 状态下的头发数量为 。
依此类推，我们可得到以下一般形式：
上式表明，具有较高 值的头发长度分布较广。这也是为什么更大的 值会导致更大的平衡长度。更大的 表示脱发较少，因此头发可以长得更长。图 10 给出了模拟结果和解析结果，其中参数 ，, 。计算所用程序见附录中的代码 1。
需要注意的是，上述推导是针对处于平衡状态的系统。在系统到达平衡状态前，头发长度状态的分布更为复杂。由于所有头发都是从 的状态开始的，因此经过时间 ，头发所能达到的最长状态为 。对于 时，我们可以像在系统处于平衡状态时那样计算每种状态下头发的数量。实际上，上式的推导并不要求系统达到平衡，仅要求 。
对于 状态，也就是头发能达到的最大长度。显然处于 长度状态的头发数量为 。所有头发在 时间内都不可能达于 的长度状态，因此对于 ，。综上所述有：
结果
考虑一个典型的中国黑发女性，头发数量约为 根 [3]，每天脱落头发的数量约为 40 根 [4]。如果我们以天为时间单位，则 。头发每天生长的长度约为 mm。根据平衡时头发的平均长度可知，达到平衡时，头发的平均长度为
注意，上式给出的是平衡时头发的平均长度。理论上时间需要达到无穷大，系统才能达到平衡状态。但人的寿命有限，如果我们考虑头发在 40 年内的生长，即 40 年不剪发。头发的平均长度在 40 年内的变化及 40 年时头发长度的分布分别如图 11 和 12 所示。计算所用程序见附录中的代码 2。
从图 11 可以看出头发的平均长度随时间增长越来越慢，并趋近于 0.87 m。此外，从图上还可以看出头发的平均长度达到 30 cm 大约需要 3 年。当然我们也可以直接使用公式计算头发的平均长度达到特定长度需要的时间：
从图 11 中可以看出绝大多数头发长度集中于 2 m 以内，有少量的头发超过 3 m 甚至 5 m。
结论
短发女如果对你说“待我长发及腰，取你狗命！”，表示你还有三年命可活。 长发女如果对你说“待我长发及腰，娶我可好？”，表示如果你不表示表示立刻取你狗命。 剪去长发的女医护工作者，大约需要 3 年才能重新蓄回长发。 疫情时间太短，不足以让 5 cm 的你成为 F4 或陈浩南。 如果一直不剪发，头发的平均长度并不会无限增长。最终，生长与脱落会逐渐趋近平衡，使头发达到平衡状态。 头发脱落得慢的人，其头发具有更大的平衡长度。反之，头发脱落得快的人，头发留不长。
附录
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参考资料
Robert Baratz. General physiology of hair—an overview 2011: https://www.atsdr.cdc.gov/hac/hair_analysis/2.4.html
[2]A mathematical model of hair growth, 2014: https://www.sciencesnail.com/science/a-mathematical-model-of-hair-growth
[3]Charm. How many hairs are on the human head?, 2019: https://www.healthline.com/health/how-many-hairs-on-a-human-head
[4]Wikipedia contributors. Hair loss. 2019: https://en.wikipedia.org/wiki/Hair_loss
长按关注数学模型，见识头发都很长